La loi normale
Avec le nouveau BTS Métiers de la Mesure nous sommes appelés à rencontrer souvent la loi Normale.
Pour mieux s'en approprier les subtilités nous allons la simuler numériquement.
C’est l’occasion d’utiliser la puissance graphique de Labview pour simuler un échantillon qui suit la loi normale.
1) Simulation Numérique de la loi normale :
Télécharger le programme en cliquant sur l'image ci-dessous
Dans ce programme nous utilisons :
l'histogramme des fréquences d’une série regroupée par classe
l’amplitude des classes est fixée par le programme en fonction de
l'écart-type
Nous pouvons jouer sur 3 paramètres : la moyenne, l'écart-type et le nombre d'échantillons.
Simulation 1 : On simule une mesure de 50°C avec un écart type de 1°C. Taille de l'échantillon : 1000
Pour répondre aux questions ci-dessous, faites des captures d'écran annotées.
1. Mettre en évidence ce que représente une classe.
ce qu'est l'amplitude d'une classe.
2. Mettre en évidence qu'une fréquence peut-être représentée de 2 manières.
3. L'allure de l'histogramme des fréquences se rapproche-t-il de la loi normale ?
4. Citez un outil mathématique permettant de répondre de manière quantitative à la question précédente.
5. Sur quel paramètre faut-il jouer pour se rapprocher encore plus de la loi normale mathématiques ?
Simulation 2 : échantillon réduit à 10 mesures
6. Sur un échantillon aussi réduit reconnaisons-nous la loi normale (joindre capture d'écran).
7. Quelle-est le meilleur estimateur du mesurande ?
8. Etablir la mesure et son incertitude grâce à
la loi de student pour un niveau de
confiance de 95 %
Comparer cet intervalle à la valeur vraie simulée.
Mettre en évidence sur une capture d'écran les valeurs
utilisées pour répondre à cette question.
moyenne : m =
écart-type : s=
degré de liberté k =
Coeff Student : t95% =
=
9. Reprendre la question précédente en prenant
un échantillon de 100 mesures
Comparer les résultats pour ces deux questions et conclure.
2) Simulation de la mesure d'un multimètre
Un élément essentiel à comprendre en BTS2M est que les mesures que nous faisons sont fausses.
Notre travail est de les rendre les moins fausses possibles et d'établir un intervalle de confiance.
Nous allons maintenant construire un sous VI qui simule le comportement d'un multimètre FI2960MT.
10)
Construire une boite de calcul de l'incertitude-type du multimètre à
partir de sa notice.
En entrée : M, mesurande
En sortie : M mesure et s écart type
Exemple : si M <= 0.1 d'après la notice
Erreur Maximale = 0,003%*Lecture+0,003%*Gamme = 3e-5*M+3e-5*0.1
Nous allons supposer que Erreur
Maximale = 3*s (Intervalle de confiance à 99%) et que cette
erreur suit une loi normale.
On en déduit que s= (3e-5*M+3e-5*0.1)/3
Ajouter un biais : un défaut d'offset de 100
µV par exemple.
11) Nous
allons maintenant simuler la réponse du multimètre à une mesure.
Pour cela nous utilisons le VI CDF inverse
normale
aide Wikipédia
(taper cdf pour cumulative
distribution function dans rechercher...)
cdf(x) est un nombre compris entre 0% et 100%, on
le tire au dés
(simulation type
Monte-Carlo)
la moyenne est la mesure souhaitée et on récupère
l'écart-type calculé dans la boite de calcul de Q10).
A 50% nous sommes à la moyenne :A
97,5% nous sommes à m+1,96*s
Pour une moyenne de 20°C et un écart type
de 1°C, nous avons 99,5% de chance d'être inférieur à quelle
température ? (soit un risque de 0,5%)
Aidez-vous du graphe ci-dessous et utilisez la
loi inverse normale de Labview. Comparer les résultats.
12) Réalisez le programme Simul FI2960MT.vi répondant au cahier des charges évoqué dans les questions 10 et 11
Besoin d'aide ? Labview for dummies
13) Encapsuler ce sous VI pour pouvoir le réutiliser facilement.
Il possède 1 entrée : le mesurande et 1
sortie : la mesure.
L'enregistrer sous le nom : Simul
FI2960MT.vi
Si besoin regarder l'aide vidéo ci-dessous.
Pour aller plus loin : ajouter
une sortie incertitude type correspondant à s calculé à partir de la
notice.
Encapsuler de nouveau
avec
un connecteur 1 entrée 2 sorties
Nous pourrons maintenant utiliser ce sous vi pour simuler le comportement d'un multimètre FI2960MT.
C'est utile par exemple pour mettre au point un programme en télétravail.
On remplace les appareils de mesure par des vi qui les simulent.
Cela permet aussi de mieux comprendre comment ce propage les incertitudes dans une chaîne de mesure.
3) Utilisation de notre sous vi "Simul FI2960MT"
14) Créer un nouveau vi.
Créer 2 commandes N : taille de
l'échantillon de mesures et M =5 : la mesure simulée de 5 V.
Appeler N fois le sous vi Fi2960MT.vi
Tracer l'histogramme des fréquences. (cf
gif ci-contre)
Calculer et afficher la moyenne et l'écart
type des mesures.
Forcer l'affichage pour avoir 6 chiffres
après la virgule flottante
Sur une capture d'écran mettez en évidence
le biais (erreur systématique)
15) Pour obtenir un histogramme proche de la loi normale,
on peut jouer
sur le nombre de classes et la taille de l'échantillon.
Par défaut l'histogramme comporte 10
classes (ou 10 intervalles), ne pas hésiter à le changer.
Faites une capture d'écran d'un
histogramme très proche de la loi normale.
Est-ce que le biais à déformé la
courbe par rapport à la loi normale ?
4) Simulation numérique : un outil universel à l’usage des métrologues
Pour aller plus loin : suivre le Webinar#11 sur la simulation numérique de la société Deltamu.
La société Deltamu a participé à l'élaboration du nouveau programme du BTS Métiers de la Mesure.
Elle vous permet d'avoir le regard d'un professionnel sur la simulation numérique.